بخش سوم: پویایی سیستم – گفتار نخست: فضای حالت

بخش سوم: پویایی سیستم

گفتار نخست: فضای حالت

در نظریه‌‌ی سیستم‌‌ها برای تحلیل آنچه در یک مجموعه‌‌ی بغرنج از عناصر و روابطِ متکثر رخ می‌‌دهد از ابزارهای نظری خاصی استفاده می‌‌کنند. این ابزارها، در نهایت، امکان مدل‌سازی ریاضی و تحلیل‌های کمی را هم به دست می‌‌دهند و این چیزی است که نظریه‌‌ی سیستم‌‌ها را در چشم دانشمندان تجربی جذاب و جدی ساخته است. برای مدل‌سازی سیستم‌‌ها باید نخست چارچوبی انتزاعی ساخت تا سایر مفاهیم بر آن سوار شوند.

فرض کنید سیستمی ساده مانند یک تکه سنگ را داشته باشیم. این سیستم در برابر شرایط متفاوت محیطی رفتارهایی خاص از خود نشان می‌‌دهد که به شماری متناهی، هرچند نه لزوماً معدود، از متغیرها بستگی دارد. سنگ سیستمی است با عناصری (مولکول‌هایی ویژه) و روابطی (نیروهای بین مولکولی) که حد و مرزی (سطح سنگ) آن را از محیطش جدا می‌‌کند. اگر این سیستم را به عنوان پرتابه‌‌ای در نظر بگیریم، می‌‌بینیم که رفتارش به شمار کمی از متغیرها وابسته است؛ مثلاً مقاومت هوا، نیروی اولیه، شتاب گرانش و جرم سنگ عامل‌هایی هستند که رفتار سیستم را در شرایط «پرتاب شدن به هوا» تعیین می‌‌کنند.

ما می‌‌توانیم فضایی فرضی را در نظر بگیریم که به تعداد متغیرهای یادشده بُعد داشته باشد؛ یعنی محوری برای نشان دادن مقادیر متفاوت گرانش، محور دیگری برای نمایش مقادیر متفاوت نیروی اولیه، محوری دیگر که مقادیر متفاوتِ جرمِ ممکن برای این پرتابه را نشان دهد و… را می‌‌توان در نظر گرفت که در فضایی فرضی همه بر هم عمود شده باشند. فضایی که چند محور در آن بر هم عمود شوند فضایی چندبعدی است و این «چند» می‌‌توان هر عددی باشد. هرچند ما در حالت عادی به فضاهای سه‌بُعدی، که دستگاه بینایی‌‌مان با آن کار می‌‌کند، و دوبُعدی، که برای نمایش نوشتارها و ترسیم اشکال از آن استفاده می‌‌کنیم، عادت کرده‌‌ایم.

این فضای چندبعدی فایده‌‌ای برای ما دارد و آن هم این است که می‌‌توان همه‌‌ی وضعیت‌‌های قابل‌تصور برای سیستم را به صورت نقطه‌‌ای بر آن نمایش داد. هر پرتابه‌‌ای را، در هر شرایط جوی و گرانشی و با هر جرم و نیروی اولیه‌‌ای که در نظر گرفته شود، می‌‌توان با یک نقطه روی این فضا نشان داد. این فضای چندبعدی فرضی را فضای حالت^[1] می‌‌نامند^[2]. فضای حالت را برای سادگی، و به دلایلی که گفتیم، در فضایی دو یا سه‌بُعدی نمایش می‌‌دهند. فضای حالت فضای چندبعدی فرضی‌‌ای است که هر بُعدش تغییرات یکی از متغیرهای حاکم بر رفتار سیستم را نمایش دهد.

تعداد ابعاد فضای حالت می‌‌تواند در دامنه‌‌ای بسیار گسترده تغییر کند. برای سیستم ساده‌‌ای مانند یک پرتابه فضایی با چهار یا پنج بُعد کفایت می‌‌کند، اما برای تحلیل سیستمی بغرنج، مانند بدن یک جاندار یا یک نظام اجتماعی، شمار بسیار بسیار زیادی از عامل‌ها باید در نظر گرفته شود. چنان‌که آشکار است، فضای حالت از رویکرد نظری ما بر می‌خیزد و ابزاری است برای توصیف سیستم و در سرشت و ذات چیزها ریشه ندارد.

پاره‌ی نخست: خط‌راهه

با توجه به سومین اصل موضوعه‌‌ای که برای مه‌روند ذکر کردیم (دگرگونی) یکی از محورهای همه‌‌ی فضاهای حالت زمان خواهد بود. چرا که همه‌‌ی سیستم‌‌ها زیرمجموعه‌‌هایی از مه‌روند هستند و بنابراین تغییر می‌‌کنند و ما برای فهم این تغییر به فرض کردنِ محور زمان نیاز داریم.

تحولات سیستم در مسیر زمان را پویایی^[3] می‌‌نامند. پویایی یا رفتار یک سیستم را می‌‌توان به صورت رشته‌‌ای از نقاطِ پیاپی بر فضای حالت مجسم کرد. نقاطی که هر یک نشانگر یک وضعیتِ خاص سیستم هستند و روی هم رفته زنجیره‌‌ای را ایجاد می‌‌کنند که بر محور زمان گسترش می‌‌یابد و پویایی کلی و رفتار دقیق سیستم را نشان می‌‌دهد. این رشته را خط‌راهه^[4] می‌‌نامند.

در یک سیستم ساده، خط‌راهه مسیری پیوسته و سرراست است که می‌توان شکلش را با معادله‌بندی‌های دیفرانسیلی توصیف کرد. این کار، یعنی به دست دادنِ معادله‌ای ریاضی به ازای هر رفتارِ قابل‌مشاهده از سیستم‌ها، رؤیای فیلسوفان خردگرایی مانند دکارت بود که کل هستی را امری معقول و ریاضی‌گونه می‌دیدند. اما امروز می‌دانیم که خط‌راهه‌ها خطوطی منظم و تر و تمیز نیستند که به سادگی در ظرف یک معادله بگنجند. به ویژه در مورد سیستم‌های پیچیده خط‌راهه‌ها مسیرهایی نامنتظره و بغرنج را طی می‌کنند و حتی ممکن است ناپیوسته باشند و مثلاً به هنگامِ گذار حالت از نقطه‌ای از فضای حالت به نقطه‌ای دیگر بجهند.پاره‌ی دوم: فضای حالت مجاز/ غیرمجاز

تمام نقاطِ موجود در فضای حالت در دسترس سیستم نیستند. این بدان معناست که خط‌راهه نمی‌‌تواند از همه‌‌ی بخش‌های فضای حالت عبور کند. برخی از شرایطِ فضای حالت به لحاظ نظری قابل‌تعریف هستند، اما تبلور خارجی‌‌شان در قالب سیستمی که آن ویژگی‌های خاص را داشته باشد، به دلایل منطقی یا عملیاتی، ناممکن است.

اگر هنگام خواندن این کتاب در فضای داخلی ساختمانی باشید، اتاقی که شما را احاطه کرده می‌‌تواند فضای حالت حرکت شما در نظر گرفته شود. یعنی این اتاق از مجموعه‌‌ای از نقاط با مختصات مشخص تشکیل یافته که شما به لحاظ نظری می‌‌توانید در هریک از آن‌ها قرار داشته باشید. با این همه، موقعی که شروع به راه رفتن در اتاق می‌‌کنید، می‌‌بینید برخی از این نقاط خارج از دسترس شماست. شما نمی‌‌توانید روی سقف -به همان سادگی که روی زمین راه می‌‌روید- حرکت کنید و قادر به گذر از فضاهایی که قبلاً توسط اشیای دیگر اشغال شده‌‌اند -مثلاً یک کمد- نیستید. به این ترتیب، خط‌راهه‌‌ای که حرکت شما را در اتاق نشان می‌‌دهد فقط به بخشی از این فضای حالت دسترسی دارد.

بخشی از فضای حالت که خط‌راهه امکان عبور به آن را دارد فضای حالت مجاز و بخشی که چنین امکانی درباره‌‌اش وجود ندارد فضای حالت غیرمجاز نامیده می‌‌شود. در فضای حالتِ زبان عبارتی مانند «دایره‌‌ی چهارگوش» وجود دارد که در جهان خارج به دلایل منطقی نمودی ندارد و بنابراین بی‌‌معناست. این نقطه برای خط‌راهه‌‌ی معنایی زبان غیرمجاز است.

بخش مهمی از روندهای حاکم بر سیستم‌‌ها را می‌‌توان به صورت تحول بخش‌های مجاز و غیرمجازِ فضای حالت فهمید. پیدایش خیابان‌ها، در واقع، غیرمجاز کردنِ بخش مهمی از فضای عبور و مرورِ شهری برای خودروها بوده است و حقوق مدنی و قضایی مجموعه‌‌ای از قراردادهاست که نقاط مربوط به رفتارهای تجاوزکارانه را در فضای حالت کردارهای شهروندان غیرمجاز می‌‌سازد.

پاره‌ی سوم: درجه‌‌ی آزادی

با آن که بخش‌هایی از فضای حالت غیرمجاز است، خط‌راهه‌‌ی سیستم در هر لحظه، یعنی در هر مقطعی از گسترش خود، امکان‌‌های گوناگونی را پیشاروی خود دارد. به لحاظ نظری سیستم می‌‌تواند در هر لحظه هر وضعیتِ مُجازی را اشغال کند. یعنی خط‌راهه در گذر از زمان حال به آینده می‌‌تواند به هریک از نقاطی که در برابرش وجود دارد، گام گذارد، بدان شرط که آن نقطه مجاز باشد. دامنه‌‌ی این انتخاب‌های رفتاری با تعداد ابعاد فضای حالت رابطه دارد. در واقع، به بیان فنی، درجه‌ی آزادی یک سیستم عبارت است از شمارِ متغیرهایی که مستقل از هم باشند و بتوانند سیستم را به طور کامل توصیف کنند. و این با شمار ابعاد فضای حالت متناسب است.

شاید یک مثال برای فهم این موضوع کمک کند. آدمی را در نظر بگیرید که در یک دشت هموار راه می‌‌رود. او در هر لحظه می‌‌تواند گام بعدی خود را در تمام نقاطِ موجود در فاصله‌‌ی یک قدمی‌‌اش انتخاب کند. او می‌‌تواند به راست، چپ، روبرو یا پشت سر قدم گذارد یا با زاویه‌هایی متفاوت در جهت‌‌‌هایی بینابینِ این‌ها حرکت کند. موقعیت این آدم را می‌‌توان به عنوان مقطعِ خط‌راهه‌‌ی مسیرش در نظر گرفت که در زمان گسترش می‌‌یابد. این آدم هم، مانند همان مقطع از خط‌راهه، فقط در زمان حال وجود دارد، اما انتخاب‌هایش نقاطی از گذشته (مسیر طی‌شده) و آینده (مسیر پیش رو) را دریک فضای حالت (دشت) به هم متصل می‌‌کند.

حالا فرض کنیم سیستم مورد نظر ما سوپرمن باشد! سوپرمن، با توجه به قدرت پروازش، در فضای حالتی حرکت می‌‌کند که یک بُعد بیشتر از دشت دارد. او می‌‌تواند علاوه بر سطح در ارتفاع هم حرکت کند. به همین دلیل هم شمار بیشتری از گزینه‌‌ها را در اختیار دارد. اگر چهار جهت را برای آدم عادی بپذیریم (پیش و پس و چپ و راست)، او می‌‌تواند در شش جهت (موارد یادشده به علاوه‌‌ی بالا و پایین) حرکت کند. از اینجا می‌‌توان شعر حافظ را هم بهتر فهمید وقتی که می‌‌گوید:

فریاد که از شش جهتم راه ببستند         آن خال ‌و قد و زلف ‌و رخ و عارض و قامت

یعنی شاعر شیرین‌سخن ما به تأثیر متغیرهای چهره‌ی دلدارش در کاهش گزینه‌‌های رفتاری در فضای حالتی شش‌بُعدی اشاره دارد!

از تمام این حرف‌ها این نتیجه حاصل می‌آید که افزوده شدن به ابعاد فضای حالت سیستم دامنه‌‌ی انتخاب‌های خط‌راهه را زیاد می‌‌کند. به همین دلیل هم تعداد این ابعاد را درجه‌‌ی آزادی^[5] سیستم می‌نامند.

حالا فرض کنید خط‌راهه‌‌ی سیستمی مثل الف از نظر ساختار و ریخت شبیه به خط‌راهه‌‌ی سیستم دیگری مانند ب باشد، به طوری که با مشاهده‌‌ی الف بتوان رفتار ب را تحلیل و پیش‌‌بینی کرد. در این شرایط، اگر درجه‌‌ی آزادی الف کمتر از ب باشد، الف را مدل ب می‌‌نامند. مدل‌سازی عبارت است از ساختنِ سیستمی مصنوعی که از موضوع بررسی‌‌مان ساده‌‌تر باشد و در عین حال رفتارهای اصلی آن را تقلید کند، به طوری که بتوان با سخن گفتن از آن، به ماهیت سیستمِ اصلی پی برد. علم از این زاویه مدلی است که شناسایی جهان، طبیعت یا مه‌روند را ممکن می‌‌کند.^[6]

تصویری که ما از جهان خارج می‌‌بینیم مدلی سه‌بُعدی است که مغزمان بر مبنای تحولات جهانِ پیرامونمان بر ساخته و دگرگونی‌های جهان بیرون را بر فضایی ساده نمایش می‌‌دهد. اگر بخواهیم حرف فیزیک‌دانان را جدی بگیریم، به این نتیجه می‌رسیم که کل جهان ملموسِ پیرامون ما از واحدهایی به نام اَبَرریسمان‌ها^[7] تشکیل شده که یازده بُعد (ده بعد مکانی و یک بعدِ زمانی) دارند. پس مغز ما به طور پیوسته هستی‌ای پیچیده و یازده‌بعدی را به مدلی ساده‌تر و چهاربعدی (درازا، پهنا، بلندا و زمان) فرو می‌کاهد که همان دنیای تجربه‌شده و آشنای پیش چشمِ ماست. ناگفته نماند که خودِ نظریه‌ی ابرریسمان‌ها هم مدلی از این دست است و آن هستی ناشناختنیِ بیرونی را با وسواس و دقتی بیشتر از چشمانمان به چارچوب ریاضی‌گونه‌ای با یازده بعد تحویل می‌کند. در عمل، تمام مدل‌هایی که شناخت چیزی را ممکن می‌کنند از همین اصلِ ساده‌سازی استفاده می‌کنند، چنان‌که همین متنی که در حال خواندنش هستید هم مدلی نظری است که هستی را با تعریف سیستمی از مفاهیم (عناصر) و قواعد (روابط) فهم‌‌پذیر می‌‌سازد.

پاره‌ی چهارم: جذب‌کننده^[8]

نقاطِ متمایزِ فضای حالت از نظر سیستم خنثا و متقارن نیستند؛ بخش‌هایی از آن برای سیستم مناسب‌‌تر و مطلوب‌‌تر تلقی می‌‌شوند و بخش‌هایی دیگر نامناسب و نامطلوب. پایداری سیستم در برخی از نقاط بیشتر و در برخی دیگر کمتر تأمین می‌شود. از این رو سیستم به بخش‌هایی از فضای حالت گرایش دارد و از جاهایی می‌‌گریزد. فضای حالت، به تعبیری، برجستگی و فرورفتگی‌‌‌هایی دارد که خط‌راهه‌‌ی سیستم را به سوی خود جذب می‌‌کند و یا از خود می‌‌راند. نقاطی که خط‌راهه را به سوی خود می‌‌کشد جذب‌کننده یا بستر جذب نام دارد.

در واقع، جذب‌کننده جایگاهی است که توسط تابع حالت سیستم صورتبندی می‌شود و موقعیت‌های پایدار آن را نشان می‌دهد. این تابع حالت همواره شمار ابعادی بسیار کمتر از فضای حالت دارد. با این همه، برای پیوند زدنِ مفاهیمی که گفتیم می توان جذب‌کننده را همچون ناحیه یا نقطه‌‌ای بر فضای حالت نمایش داد، به طوری که خط‌راهه‌‌ی سیستم با نزدیک شدن به آن به سویش میل ‌‌کند و در آن قرار گیرد. جذب‌کننده مانند سوراخ قیفی است که ساچمه‌‌ی خط‌راهه به درونش افتاده باشد. در علوم فیزیکی، با توجه به اهمیتی که فضای حالت‌های انرژی دارند، گاه جذب‌‌کننده‌‌ها را با نام چاه پتانسیل مورد اشاره قرار می‌‌دهند، چرا که این نقاط از نظر وضعیت انرژی پایدارتر از نقاط همسایه‌‌شان است.

مثال‌های زیادی از جذب‌کننده‌‌ها می‌‌توان زد. دمای بدن پرندگان و پستانداران یک نمونه‌‌ی خوب است. سیستم متابولیک جانوران خونگرم بر فضای حالت خود جذب‌کننده‌‌ای بر محور دما دارد که خط‌راهه را معمولاً به سوی خود جلب می‌‌کند و در آن ناحیه‌‌ی خاص نگه می‌‌دارد. به همین دلیل هم در حالت عادی دمای بدن پستانداران و پرندگان به ترتیب ۳۷ و ۴۰ درجه‌‌ی سانتی‌‌گراد است. اگر دمای بدن انسانی از این جذب‌کننده دور شود، ترفند‌هایی مانند لرزیدن یا عرق کردن به کار گرفته می‌‌شود تا دما بار دیگر به همان نقطه‌‌ی پیشین باز گردد. سیستم‌‌ها معمولاً با بازخوردهای منفی خود را در جذب‌کننده‌‌ی خاصی تثبیت می‌‌کنند.

گرایشِ سیستم به قرار گرفتن در جذب‌کننده‌‌ها بدان معنا نیست که این نقاط تثبیت‌شده و مطلق باشند. جذب‌کننده‌‌ها خاصیتی در خودِ فضای حالت نیستند، بلکه در اثر حضور خط‌راهه‌‌ها در آن‌ها شکل می‌‌گیرند. هنگامی که یک سیستم دگرگون می‌‌شود، بخش‌های مجاز و غیرمجاز و جذب‌کننده یا دفع‌کننده‌‌ی فضای حالتش هم دگرگون می‌‌شود. یک مثال خوب تب کردن است که چیزی جز تغییر جذب‌کننده‌‌ی یادشده به سمت دماهای بالاتر نیست.

این‌که چه جذب‌کننده‌‌‌هایی در کجای فضای حالت وجود داشته باشند توسط برآیند ارتباطات سیستم با محیط تعیین می‌‌شود. یک منظره‌‌ی کوهستانی، در واقع، نیمرخ جذب‌کننده‌‌‌هایی را نمایش می‌‌دهد که به طور عمده بر مبنای نیروی گرانش در فضای حالتی مکانیکی شکل گرفته‌‌اند. این‌که فلان سنگ در فلان شیبِ کوه کجا قرار بگیرد توسط مجموعه‌‌ای از عوامل درونی (شکل و جرم و جنس سنگ) و بیرونی (شیب زمین و گرانش و شدت وزش باد) تعیین می‌‌شود. هرچه سیستم پیچیده‌‌تر باشد، اهمیت متغیرهای درونی در تعیین جذب‌کننده‌‌ها بیشتر می‌‌شود. مثلاً جانوران خونسرد جذب‌کننده‌‌ای برای دمای بدنشان ندارند، ولی خویشاوندان خونگرمشان که پیچیده‌‌ترند، به دلیل افزایش سرعت سوخت و سازشان، چنین جذب‌کننده‌‌‌هایی را در سیستم خود پدید آورده‌‌اند. پیچیده شدنِ گام به گامِ سیستم با پیدایش مسیرهایی درونی و مراکزی درون‌زاد برای تولید و مدیریت جذب‌کننده‌ها همراه است. این همان روندی است که در نهایت خودکاره‌ها یا سیستم‌های خودمختار را پدید می‌آورد.

 

 

1. phase-space ↑
2. اگر بخواهیم دقیق‌تر سخن بگوییم، باید به دو مدل از این فضا اشاره کنیم. فضای حالت مربوط به شرایطی است که متغیرهایی هم‌جنس در شمار زیادی از سیستم‌ها مورد نظر باشند. در این شرایط، گرفتنِ مشتق زمانی از متغیرها ممکن است و می‌توان معادله‌بندی سرراستی از پویایی سیستم‌ها به دست داد؛ اما در این متن بیشتر به مفهومی عام و کلی اشاره داریم که امکانِ صورتبندی تمام متغیرهای موجود در همه‌ي سیستم‌ها را به دست دهد. این را در نظریه‌ی سیستم‌ها فضای آرایش (configuration space) می‌نامند. تفاوتِ آن با فضای حالت آن است که لزومی در هم‌جنس بودنِ متغیرهایش وجود ندارد و بنابراین ممکن است مشتق زمانی متغیرها هم قابل‌محاسبه نباشد. آنچه در این متن مورد نظر است شکلِ عام و تعمیم‌یافته‌ی اخیر است. اما چون فضای حالت در زبان فارسی بیشتر جا افتاده،‌ همین واژه را برای اشاره به هردو مفهوم به کار خواهیم گرفت. هرچند اگر بخواهیم دقیق‌تر سخن بگوییم، ناگزیر می‌شویم ‌بخش عمده‌ی «فضای‌ حالت‌های» متن را به «فضای آرایش» تبدیل کنیم. ↑
3. dynamism ↑
4. trajectory ↑
5. degree of freedom ↑
6. هرچند مه‌روند را به دليل بی‌حد و مرز بودنش نمی‌‏توان سيستم دانست. ↑
7. superstring ↑
8. attractor ↑

 

 

ادامه مطلب: گفتار دوم: دوشاخه ‌زایی

رفتن به: صفحات نخست و فهرست کتاب