سوشیانس تارنمای رسمی شروین وکیلی
دوم: مفهوم رياضى تقارن
قديمى‌‌‌‌ترين تعاريفى كه از تقارن وجود دارند، تعاريف رياضيدانان جهان كهن هستند. اين تعاريف، كه بيشتر در قلمرو هندسه‌‌‌‌ى اقليدسى كاربرد دارند، سه نوع مشخص از تقارن را در نظر مى‌‌‌‌گرفتند: تقارن مركزى يا نقطه‌‌‌‌اى، تقارن خطى يا محورى، و تقارن چرخشى. تقارن مركزى، به اين شكل تعريف مى‌‌‌‌شود. اگر در شكلى هندسى، بتوان نقطه‌‌‌‌اى يافت كه هر جزء(يا نقطه) از شكل در يك طرف اين نقطه، جزء(يا نقطه‌‌‌‌اى) با فاصله و خواص مشابه را در طرف ديگر هم داشته باشد، آنگاه اين شكل نسبت به آن نقطه داراى تقارن مركزى خواهد بود. نمونه‌‌‌‌ى آشناى مصداق اين تعريف، دايره است كه نسبت به مركزش داراى تقارن مركزى است. تقارن محورى، تعريفى مشابه دارد، با اين تفاوت كه به جاى يك نقطه‌‌‌‌ى مركزى، يك خط به عنوان مرجع تقارن مورد توجه قرار مى‌‌‌‌گيرد. در اينجا هم مشابه بودن خواص نقاط دو طرف اين خط، وجود تقارن محورى را نتيجه مى‌‌‌‌دهد. مثال معمول در اين مورد، لوزى است، كه نسبت به اقطار خود تقارن محورى دارد. مستطيل هم نسبت به خطهاى متصل كننده‌‌‌‌ى وسط اضلاع مقابلش، به هم چنين حالتى دارد. تقارن چرخشى، با حركت شكل در فضا و همتابودن نقاط متناظر نسبت به يك صفحه تعريف مى‌‌‌‌شود. نمونه‌‌‌‌اى از اين تقارن، حالتى است كه در مورد تصوير آيينه‌‌‌‌اى يك چيز و خودش مشاهده مى‌‌‌‌شود. اين تعاريف ابتدايى و محدود از تقارن براى مدتها، تنها مرجع علاقمندان به اين قضيه بود. تا اينكه فيزيك و رياضيات نوين، تعاريفى جديد و جنبه‌‌‌‌هايى نو را به اين مبانى افزودند.
اگر همين معناى ساده‌‌‌‌ى معناى تقارن را تعميم دهيم، به نتايج جالبى مى‌‌‌‌رسيم. در يك صفحه‌‌‌‌ى اقليدسى، متقارن‌‌‌‌ترين چيزى كه وجود دارد، يك نقطه است. يك نقطه نسبت به هيچ تبديل هندسى‌‌‌‌اى، تغيير نمى‌‌‌‌كند، پس به اين ترتيب بدون اينكه به مرجعى نياز داشته باشد، متقارن است. اگر از نقطه بگذريم، همه‌‌‌‌ى اشكال اقليدسى ديگر، اگر متقارن باشند، به مرجعى نياز دارند. اين مرجع، چنانكه ديديم،بنابر تعريف مى‌‌‌‌تواند يك نقطه، يك خط، و يا يك صفحه باشد. به بيان ديگر، حتى اگر بخواهيم از وجود تقارن در دو نقطه صحبت كنيم، مجبوريم معناى خط را به عنوان يك عنصر بنيادى وارد قضيه كنيم. گذشته از تقارن خودكفاى نقطه‌‌‌‌ى يكتا، ساده‌‌‌‌ترين تقارن وابسته به مرجع، به خط منحصر مى‌‌‌‌شود. چون نقطه‌‌‌‌ى متقارن هر نقطه از يك خط راست نامتناهى، با توجه به هر مرجعى كه خود عضوى از آن خط باشد، روى آن خط خواهد افتاد. يعنى در يك خط راست، هركجا را كه به عنوان نقطه‌‌‌‌ى مرجع در نظر بگيريم، مى‌‌‌‌بينيم كه همه‌‌‌‌ى نقاط ديگرِ خط، نسبت به آن متقارن هستند.
همين معنا را مى‌‌‌‌توان به نظريه اعداد هم بسط داد. در آنجا هم مجموعه مشهورى مثل اعداد حقيقى را مى‌‌‌‌توان يك شبه‌‌‌‌خط متقارن در نظر گرفت. در آنجا هم هريك از اعداد مجموعه را كه به عنوان مرجع فرض كنيم، همه‌‌‌‌ى اعضاى ديگر مجموعه عدد متقارن خود را نسبت به آن مرجع در درون مجموعه خواهند يافت. مى‌‌‌‌توان آنچه را كه درباره‌‌‌‌ى منزلت نقطه در هندسه‌‌‌‌ى اقليدسى گفتيم، در اينجا هم تكرار كنيم. اگر مجموعه‌‌‌‌اى كه داراى تقارن است، متناهى باشد، آنوقت عدد متقارن با عضو اول آن نسبت به عضو آخرش، عضو مجموعه نخواهد بود، و به اين ترتيب تعريف تقارن در مجموعه ها نقض مى‌‌‌‌شود. پس مى‌‌‌‌توان ثابت كرد كه تنها مجموعه‌‌‌‌ى متقارن متناهى، تنها بايد داراى يك عضو باشد. چنين مجموعه‌‌‌‌اى طبعا به مرجع نياز نخواهد داشت، و همواره متقارن خواهد بود.
بر مبناى همين تعريف تقارن در مجموعه‌‌‌‌ى اعداد حقيقى، مى‌‌‌‌توانيم مفهومى جديد را هم ايجاد كنيم. اگر چنين فرض كنيم كه نقطه‌‌‌‌ى A كه عضوى از يك مجموعه‌‌‌‌ى دلخواه X است- مرجع تقارن در نظر گرفته شود، مى‌‌‌‌توان فاصله‌‌‌‌اى مانند R را به شكلى تعريف كرد كه مركز اين فاصله خود A باشد، و اين فاصله هم زيرمجموعه‌‌‌‌اى از X باشد. در اين حالت، اگر نقطه‌‌‌‌ى دلخواه N كه عضو X است، عضو R هم باشد، مى‌‌‌‌گوييم در این فاصله تقارن در X وجود دارد. اگر متقارن N نسبت به A هم عضو X باشد، آنگاه مجموعه‌‌ی X در فاصله‌‌‌‌ى Rداراى تقارن موضعى است. اگر همه‌‌‌‌ى نقاط مجموعه‌‌‌‌ى X داراى تقارن موضعى باشند، آنگاه مجموعه X داراى تقارن موضعى خواهد بود. يعنى اگر فواصل داراى خاصيت مشابه R همه‌‌‌‌ى نقاط X را بپوشانند، كل مجموعه داراى تقارن موضعى خواهد بود. همه‌‌‌‌ى آنچه كه درباره‌‌‌‌ى مفهوم تقارن مورد بحث قرار گرفت، مى‌‌‌‌تواند در تقابل با تقارن موضعى، با اصطلاح تقارن كلى تعريف شود. روشن است كه هر مجموعه‌‌‌‌ى داراى تقارن كلى داراى تقارن موضعى هم خواهد بود، ولى عكس اين مطلب، صادق نيست. مثلا يك مجموعه‌‌‌‌ى متناهى، چنانكه گفتيم، نمى‌‌‌‌تواند داراى تقارن كلى باشد، ولى مى‌‌‌‌تواند به طور موضعى متقارن باشد.
در همين مقطع، مى‌‌‌‌توان معنايى ديگر را هم تعريف كرد، و آن هم رابطه‌‌‌‌ى پادتقارنى است. از آنجا كه اين پديده ربط چندانى به بحث مورد نظر من ندارد، در اينجا تنها اشاره‌‌‌‌اى كوتاه به آن مى‌‌‌‌كنم. همه‌‌‌‌ى ما به طور شهودى چنين مى‌‌‌‌پنداريم كه تقارن، معنايى هم‌‌‌‌ارز با نظم دارد. به اين معنى كه اشياى داراى تقارن، (مثل بلورها، موجودات زنده، و اشياى مصنوعى) همه داراى نظمى فراتر از ساير اشياى محيط خود هستند. پس باز به طور شهودى مى‌‌‌‌توان چنين حس كرد كه اگر همه‌‌‌‌ى تعاريف تقارن را برعكس كنيم، بايد به چيزى خيلى شبيه به بى‌‌‌‌نظمى برسيم. مى‌‌‌‌توان نشان داد كه اين شهود، نادرست است.
چنانكه گفتيم، اگر در مجموعه‌‌‌‌ى X عضو متقارن هر عنصرى از مجموعه، نسبت به هر نقطه‌‌‌‌اى در داخل آن، داخل مجموعه باشد، آن مجموعه متقارن است. اگر عضوى وجود داشته باشد، به طورى كه متقارن آن نسبت به مركزى داخل X عضو X نباشد، آنگاه مى‌‌‌‌گوييم X نامتقارن است. چنانكه مى‌‌‌‌بينيد، مفهوم نامتقارن بودن با برعكس كردن تعريف تقارن حاصل نشده ، بلكه تنها از نقض آن پديد آمده است. اگر تعريف مورد بحث را برعكس كنيم، به اين جمله مى‌‌‌‌رسيم:
اگر همه‌‌‌‌ى نقاط عضو X نسبت به هر مركزى در درون آن، نقطه متقارنى داشته باشند كه درون X نباشد، آنگاه X داراى خاصيت پادتقارن است. يعنى در اين تعريف، در مورد هيچ نقطه‌‌‌‌اى با هيچ مركزى، نبايد تقارن موضعى مشاهده شود. دقيقا به همان شكلى كه مفهوم تقارن موضعى را تعريف كرديم، مى‌‌‌‌توانيم پادتقارن موضعى را هم تعريف كنيم و به اين ترتيب به ساختارى معنايى موازى‌‌‌‌اى با تقارن برسيم. بايد توجه كرد كه به اين شكل، تعريف نامتقارن بودن و پادمتقارن بودن، با هم تفاوت مى‌‌‌‌كند. نامتقارن بودن، به سادگى عبارت است از عدم وجود پديده‌‌‌‌ى تقارن، و پادتقارن. مى‌‌‌‌توان مجموعه‌‌‌‌هايى فراوان را ساخت كه داراى تقارن، پادتقارن، و يا عدم‌‌‌‌تقارن موضعى و كلى باشند. مثلا مجموعه اعداد اول، به طور موضعى بى‌‌‌‌تقارن است، يعنى متقارن نقطه 2نسبت به 3 )=4( را در خود ندارد. مى‌‌‌‌توان نشان داد كه تقارن، و پادتقارن داراى زيرساخت معنايى هم‌‌‌‌ارزى هستند.
مفهوم تقارن در رياضى با مفهوم گروه هم نزديكى دارد. گروه، چنانكه مى‌‌‌‌دانيم، مجموعه‌‌‌‌اى است كه با توجه به دو عمل جابجايى و شركت‌‌‌‌پذيرى بسته باشد. تقارن را به عنوان عملى بريك گروه رياضى تعريف مى‌‌‌‌كنند، به شكلى كه اِعمال آن عمل بر گروه مورد نظر، ريخت گروه را دگرگون نكند. در كل هفده گروه رياضى در رياضيات شناخته شده‌‌‌‌اند. نظريه‌‌‌‌ى تقارن در گروه‌‌‌‌ها، در نهايت به استفاده از تقارن در فيزيك مى‌‌‌‌انجامد. يعنى آنچه كه به عنوان مفهوم فيزيكى تقارن مورد اشاره قرار گرفته، در واقع بسط مفهوم تقارن در گروه‌‌‌‌هاست. چنانكه مى‌‌‌‌دانيم، هانرى پوانكاره يكى از نخستين افرادى بود كه به فضا خواص گروهى نسبت داد و كوشيد دراين گروه فيزيكى تبديلات ناوردا را پيدا كند. در نهايت هم بسط همين تلاشها توسط انشتين بود كه به نظريه‌‌‌‌ى نسبيت انجاميد.
ادامه مطلب: سوم: مفهوم فيزيكى تقارن
رفتن به: صفحات نخست و فهرست کتاب